样本方差
样本均值是随机向量 X 期望（若存在）的无偏估计：
\[\overline{X}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}X_{i}\]样本方差是方差的无偏估计：
\[E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\sigma^{2}\]之所以在分母使用（n-1）而非 n 证明如下：
首先：
\[D(CX) = C^{2}D(X)\]（易证）
\[D(X+Y) = D(X) + D(Y)\]（相互独立，易证）
\[E(X^{2}) = E(X)^{2} + D(X)\]所以对于上述样本方差：
\[E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]\]化简后得：
\[\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^{n}E(X_i^{2}) - \sum_{i=1}^{n}2*E(X_i)*E(\overline{X}) + \sum_{i=1}^{n}E(\overline{X}^{2}) \right]\]再次化简：
\[\frac{1}{n-1}\left[nE(X_i)^{2} + nD(X_i) - 2*n*E(\overline{X})^{2} + nE(\overline{X})^{2} + nD(\overline{X}) \right]\]再次化简：
\[\frac{1}{n-1}\left[ nD(X_i) - nD(\overline{X}) \right]\]最后：
\[\frac{1}{n-1}\left[ nD(X_i) - \frac{1}{n}D(X_i) \right]\]于是样本方差是方差的无偏估计。
定性的思考，因为样本均值一定会偏离实际均值，所以样本减去样本均值的值一定会大于实际的方差，所以需要适当的做一次「缩小」。
参考：
https://www.cnblogs.com/yinheyi/p/6991715.html
https://www.zhihu.com/question/20099757
https://zhuanlan.zhihu.com/p/338260722